Opinião

Matemática e Carnaval: nos passos do bêbado

Marcio Luis Ferreira Nascimento - Professor da Escola Politécnica - Dep. de Engenharia Química e do Instituto de Humanidades, Artes e Ciências da UFBA

Matemática pode ser uma componente curricular muito divertida para motivar os alunos, pois pode prever situações do mundo real, ainda que aparentemente inusitadas, como seriam os passos de um bêbado no carnaval.

Para ilustrar esta história, vale lembrar que muitos estudantes e professores já ouviram falar do diagrama de Venn, ainda bastante ensinado nas escolas. Consiste em curvas fechadas (num plano) utilizadas para simbolizar e representar graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria, como união, intersecção, relações de pertencimento, etc.

O que poucos sabem é que John Venn (1834-1923) foi um matemático e lógico inglês, ordenado padre em 1857. A partir de 1862 foi professor de Ciência Moral na Universidade de Cambridge, onde estudou e ensinou lógica e teoria das probabilidades. Numa de suas obras, ‘Logic of Chance’ (ou ‘Lógica da Probabilidade’, de 1888), 3ª. edição, à página 118, apresentou uma idéia bastante simples e interessante de como simular os passos de um bêbado em duas dimensões (i.e., num plano).

Começamos por um ponto (a posição inicial do bêbado). A partir dele, vamos considerar oito direções possíveis num plano, chamadas de pontos cardeais: Norte (N), Nordeste (NE), Leste (E), Sudeste (SE), Sul (S), Sudoeste (SO), Oeste (O) e Noroeste (NO).  Atribua números de 0 a 7 a cada direção, de acordo com esta sequência (N vale 0, NE vale 1 e assim por diante). A ideia de Venn foi associar a cada um destes pontos cardeais a uma sequência aleatória de números. Seriam estas séries aleatórias fáceis de obter?

A resposta é sim, e envolve os chamados números irracionais. Todo número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão (ou razão) entre dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. Exemplos de tais números são a raiz quadrada de dois, aproximadamente 1,41421..., a raiz quadrada de três, aproximadamente  1,73205..., ou ainda o numero pi, aproximadamente 3,14159... Os três pontinhos indicam que a sequência de números após a vírgula é imprevisível e nunca termina, representam portanto uma série de números infinitos e não periódicos. Por isso a representação é aproximada pelas reticências.

Mas como utilizar estas idéias na representação do passo de um bêbado? Vamos a um exemplo: escolha um número irracional, como pi = 3,141592635...  e apenas considere enquanto excluídos os dígitos 8 e 9 (quando e seeles aparecerem na sequência da representação decimal). Assim, tomando por base tal número, poderemos descrever a sequência aleatória de pontos cardeais como segue (lembrando que o 3 vale SE, 0 vale N e assim por diante): SE,NE-S-NE-SO-(pula o nove)-E-O-SE-SO... Se o estudante desenhar tal sequência de pontos cardeais irá de fato criar uma série aleatória. Como exercício, tente então verificar o padrão aleatório de pontos cardeais utilizando a sequência dos primeiros 65 dígitos que representa a raiz quadrada de 2, i.e., 1,4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379... . Lembre-se apenas de desprezar os dígitos 8 e 9, pois não representam os pontos cardeais nesta brincadeira. Para ajudar, a sequência inicia assim: NE,S-NE-S-E-NE-SE-SO-O..., e assim por diante.

Em época de carnaval, qualquer um poderá verificar in loco, nas ruas da cidade, pessoas que beberam muito se comportando de forma similar à ideia de Venn, e verificar o curioso poder preditivo da matemática. Algo que bem lembra aquela canção: “São dois prá lá, dois pra cá...”.